همانطور که می دانیم اشکال هندسی مختلفی در محیط پیرامون ما و ریاضیات وجود دارند که هر یک دارای مساحت، محیط و حجمی متفاوت می باشند. به منظور به دست آوردن محیط، حجم و مساحت اشکال مختلف فرمول های ریاضی مختلفی وجود دارند که در این مطلب با آنها آشنا خواهیم شد.
فرمول های ریاضی اشکال مختلف
در محیط پیرامون ما اشکال هندسی مختلفی وجود دارند که هر یک از این شکل ها دارای محیط، مساحت و حجمی متفاوت می باشند. محیط، مساحت و حجم اشکال با توجه به نوع آنها به روش ها و فرومول هایی متفاوت به دست می آیند. در این مطلب با فرمول های ریاضی مربوط به محیط، مساحت و حجم هر یک از اشکال هندسی آشنا خواهیم شد.
حجم اشکال هندسی
حجم یک جسم در واقع به میزان فضایی گفته می شود که آن جسم اشغال می کند. یکای حجم در سیستم متریک متر مربع است، در حالت کلی حجم را به شکل فضایی در نظر می گیرند که بتوانند در آن هوا، آب یا جرم خاصی را قرار دهند.
محیط اشکال هندسی
محیط یا همان پیرامون در زبان هندسه به خط و مسیری می گویند که سطحی را در میان خود بگیرد. محیط در واقع به معنی فراگیرنده بوده و به بخش بیرونی از یک شکل گفته می شود. همان فاصله ای که روی لبه بیرونی یک شکل پیموده می شود تا به نقطه اولیه خود برگردیم، محیط است، خود این لبه بیرونی را نیز به اصطلاح محیط می گویند. می توانیم محیط هر شکلی را با قرار دهی یک نخ یا طناب بر روی دور تا دور لبه بیرونی آن اندازه گیری کنیم. به دست آوردن محیط اشکال مختلف کاربردهای علمی زیادی دارد، به عنوان نمونه فبل از خزید یک زمین باید محیط آن اندازه گیری شود. بعلاوه می توانیم ریسمان مورد نیاز برای پیچاندن به دور یک ماسوره را با اندازه گیری محیط ماسوره تعیین نماییم.
مساحت اشکال هندسی
مساحت یا پهنه بزرگی یک سطح دو بعدی را تعیین می نماید. تمامی سطح یا کف یک شکل هندسی مساحت آن شکل در نظر گرفته می شود، سطح می تواند مربوط به شکلی دو بعدی یا شکلی سه بعدی باشد. مساحت دارای پایه سیستم SI متر مربع m2 می باشد که برابر با مساحت مربهی به ضلع یک متر است. قبل از این در ایران از یکاهای بومی مثل گریب برای اندازه گیری مساحت استفاده می شده است. همچنین از دیگر واحدهای اندازه گیری مساحت هکتار و کیلومتر مربع است که برای واحدهای بزرگتر از آنها استفاده می شود. در کشور انگلیس از واحد ایکر برای اندازه گیری سطح استفاده می گردد.
در ادامه این مطلب شما را با فرمول های ریاضی حجم، مساحت و محیط برخی از اشکال مهم هندسی آشنا می کنیم، همراه ما باشید.
فرمول های مربع
مربع یک چهار ضلعی منتظم می باشد که در آن تمامی اضلاع با هم برابر هستند و ضلع ها با هم دو به دو زاویه ۹۰ درجه را تشکیل می دهند.
- مساحت مربع = یک ضلع × خودش
- محیط مربع = یک ضلع × ۴
فرمول های مستطیل
مستطیل چهار ضلعی است که در آن تمامی زاویه ها قائمه هستند، مستطیل نوعی متوازی الاضلاع می باشد که در آن هر دو ضلع مجاور بر هم دیگر عمود باشند. یک مستطیل دارای خواص زیر است:
در مستطیل تمامی زوایا برابرند، مجموع زاویه های داخلی مستطیل برابر با ۳۶۰ درجه می باشد، قطرها در مستطیل با هم برابرند، مستطیل ها دایره محیطی دارند، مستطیل دارای دو محور تقارن است، قطرها در مستطیل محور تقارن نیستند.
- مساحت یک مستطیل = طول × عرض
- محیط یک مستطیل = ۲ × (طول + عرض)
فرمول های مثلت
مثلث که با نام های سه گوش و سه کنج نیز شناخته می شود یک چند ضلعی است که دارای سه ضلع باشد. مثلث همچنین شکلی مسطح می باشد که از اتصال سه نقطه غیر هم خط در صفحه ایجاد می شود. مثلث سه ضلع، سه زاویه و سه راس دارد، به شکلی دیگر مثلث از برخورد سه خط راست با یکدیگر به شکلی که هر سه قطع هم دیگر را قطع کنند به وجود می آید. مثلث سه گوش یا همان زاویه دارد که در آن مجموعه زاویه های داخلی برابر با ۱۸۰ درجه می باشد.
- مساحت مثلث = ۲/ (قاعده × ارتفاع)
- محیط مثلث = مجموعه سه ضلع مثلث
فرمول های مثلث متساوی الاضلاع
مثلث متساوی الاضلاع نوعی مثلث است که در آن ضلع ها با هم برابر باشند. اندازه هر زاویه داخلی در این مثلث برابر با ۶۰ درجه می باشد.
- مساحت مثلث متساوی الاضلاع = ۲ / (ارتفاع × قاعده)
- محیط مثلث متساوی الاضلاع = ۳ × یک ضلع
فرمول های مثلث متساوی الساقین
در مثلث متساوی الساقین دو ضلع با هم برابر هستند. این مثلث دارای دو زاویه داخلی برابر می باشد.
- مساحت مثلث متساوی الساقین = ۲ / (ارتفاع × قاعده)
- محیط مثلث متساوی الساقین = مجموع سه ضلع
فرمول های مثلث قائم الزاویه
مثلث قائم الزاویه، مثلثس است که یک زاویه قائمه داشته باشد، یعنی یکی از اضلاع آن بر یک ضلع دیگر عمود باشد.
- مساحت مثلث قائم الزاویه = ۲ / (ارتفاع × قاعده)
- محیط مثلث قائم الزاویه = مجموعه سه ضلع مثلث
فرمول های مخروط
مخروط نوعی شکل هندسی سه بعدی است که از سطح مقطع مخروط تا راس باریک می گردد. در واقع مخروط شکلی جامد می باشد که به یک صفحه مقطع محدود می گردد و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی می باشد که نوک مخروط را به نقطه های پیرامون پایه وصل می کنند. مخروط یک نوع هرم می باشد که قاعده آن دایره می باشد.
- حجم مخروط = ۱/۳ مساحت قاعده × ارتفاع مخروط
- مساحت مخروط = مساحت جانبی مخروط + مساحت قاعده
فرمول های ذوزنقه
ذوزنقه یکی از اشکال هندسی می باشد که دو بعدی بوده و دارای چهار ضلع می باشد. در ذوزنقه دو ضلع با هم موازی می باشند.
- مساحت ذوزنقه = نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)
- محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع
فرمول های لوزی
لوزی یک چهار ضلعی متساوی الاضلاع می باشد. در واقع لوزی یک چهار ضلعی است که اضلاعش دو به دو با هم برابر بوده و زاویه ای رو به روی آنها با هم برابر می باشند. همچنین در لوزی قطرها بر هم عمود هستند و هم دیگر را نصف می کنند. در لوزی مجموعه دو زاویه مجاور با هم برابر با ۱۸۰ درجه می باشد. در واقع متوازی الاضلاعی که در آن قطرها بر هم عمود باشند لوزی است. ارتفاع لوزی طول یک خط عمود بر هر کدام از دو ضلع مقابل می باشد.
- مساحت لوزی = ۲/ (قطر بزرگ × قطر کوچک)
- محیط یک لوزی = ۴ × یک ضلع
متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع چهار ضلعی می باشد که در آن ضلع های رو به رو با هم همراستا و موازی باشند. در متوازی الاضلاع اضلاع و زاویه های رو به رو با هم برابر هستند. همچنین زاویه های مجاور با هم مکمل می باشند. مستطیل، لوزی و موبع یک نوع متوازی الاضلاع می باشند. در متوازی الاضلاع قطرها هم دیگر را نصف می نمایند. فرمول های ریاضی متوازی الاضلاع عبارتند از:
- مساحت متوازی الاضلاع = ارتفاع × قاعده
- محیط متوازی الاضلاع = ۲ × مجموع دو ضلع متوالی
فرمول های دایره
دایره نوعی منحنی مسطح و بسته می باشد که شامل نقاطی از صفحه می شود که فاصله این نقاط از یک نقطه ثابت در آن صفحه مقداری ثابت است. نقطه ثابت را مرکز دایره می گویند و به این مقادیر ثابت، اندازه شعاع دایره گفته می شود.
شعاع دایره: پاره خطی است که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی دایره متصل می کند، شعاع را معمولا با نام r مشخص می نمایند.
قطر دایره: قطر دایره به حداکثر فاصله بین دو نقطه روی محیط دایره گفته می شود. اندازه قطر دو برابر شعاع می باشد. قطر دایره از مرکز آن عبور می کند و دایره را به کمان هایی مساوی تقسیم می نماید. به این کمان ها نیم دایره می گویند. قطر دایره را در اکثر موارد با نام R نمایش می دهند. در ادامه با فرمول های ریاضی دایره آشنا می شویم.
- مساحت دایره = عدد پی (۳/۱۴) × شعاع × شعاع
- محیط دایره = عدد پی (۳/۱۴) × قطر
- محیط دایره = عدد پی (۳/۱۴) × شعاع × ۲
فرمول های کره
کره یکی از حجم های هندسی سه بعدی می باشد که کاملا گرد است. کره مجموعه ای از تمام نقاط می باشد که در فاصله r (شعاع) از یک نقطه مشخص هستند. کره کاملا متقارن می باشد و دارای یال یا راس نیست.
- مساحت کره = شعاع به توان ۲ × عدد پی (۳/۱۴) × ۴
- حجم کره = شعاع به توان ۳ × عدد پی (۳/۱۴) × ۴/۳ (چهار سوم)
فرمول های بیضی
بیضی مجموعه ای از نقطه ا است که تمام نقاط آن در یک صفحه قرار داشته که فاصله نقاط از دو نقطه ثابت به اندازه ای ثابت باشند.
- مساحت بیضی = ۳/۱۴ × (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک)
چند ضلعی منتظم
چند ضلعی منتظم، چند ضلعی می باشد که در آن تمامی زاویه ها و اضلاع هم اندازه باشند. این نوع چند ضلعی به اشکال کوژ یا ستاره هستند. چند ضلعی های منتظم دارای یک محیط محاطی هستند که به همه اضلاع در نقطه وسط آنها مماس باشد. هر چند ضلعی منتظم لزوما یک چند ضلعی مماسی نیز می باشد. فرمول های ریاضی چند ضلعی شامل موارد زیر می شوند.
- محیط چند ضلعی = طول یک ضلع × تعداد اضلاع آن
- مساحت چند ضلعی = ۲ / ( طول چند ضلعی × ارتفاع چند ضلعی ) × تعداد اضلاع
مکعب مستطیل
مکعب مستطیل شکلی هندسی است که سه بعدی می باشد. مکعب مستطیل دارای شش وجه مستطیل شکل می باشد. مکعب مستطیل دارای ۸ گوشه و ۱۲ لبه می باشد. در این شکل هندسی تمامی زاویه ها قائمه هستند و وجوه رو به رو با هم برابر می باشند. مکعب حالتی از مکعب مستطیل می باشد.
- حجم مکعب مستطیل = ارتفاع × طول × عرض
- مساحت مکعب مستطیل برابر است با مجموع مساحت وجه های آن
فرمول های مکعب
مکعب یک شکل بسته سه بعدی می باشد که از شش مربع تشکیل می شود، در مکعب هر ضلع مربع فقط با یک ضلع از مربع دیگر مشترک می باشد و در راس ها سه مربع با هم ارتباط دارند. می توان مکعب را یک شش وجهی منتظم نامید که یکی از پنج جسم افلاطونی می باشد. مکعب همان مکعب مربع است. فرمول های ریاضی مکعب عبارتند از:
- حجم مکعب = مساحت قاعده × ارتفاع
- مساحت مکعب = مساحت قاعده × ۶
فرمول های هرم
هرم یکی از اشکال سه بعدی می باشد، هرم دارای یک سطح مسطح به نام قاعده هرم می باشد. قاعده هرم چند ضلعی دلخواه می باشد که به مثلث های هم راس وصل شده است. خط قائمی که راس هرم را به قاعده آن وصل می کند ارتفاع هرم نامیده می گردد. هرم همانطور که گفتیم یک چند وجهی می باشد که اگر قاعده آن مثلث باشد به آن هرم مثلث القاعده و اگر قاعده آن مربع باشد به آن هرم مربع القاعده گفته می شود. همچنین اگر قاعده هرم دایره باشد به آن مخروط می گوییم.
- حجم هرم = (ارتفاع هرم × مساحت قاعده ی هرم ) ۱/۳
- مساحت هرم = مساحت قاعده + مساحت جانبی
فرمول های استوانه
استوانه یکی از انواع اشکال هندسی منحنی فضایی در هندسه می باشد که سطح دور آن از نقاطی تشکیل می شود که در فاصله یکسانی از یک خط راست قرار داشته باشند. به این خط راست محور گفته می شود. دو سر استوانه به کمک دو صفحه عمود بر محور استوانه بسته می گردد.
- مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع
- حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع
- سطح کل استوانه = مساحت دو قاعده + مساحت جانبی
- مساحت جانبی استوانه = مساحت مجموع دو قاعده + (ارتفاع × محیط قاعده)
منشور
منشور به یک چند وجهی می گویند که دو قاعده n ضلعی دارد. قاعده ها در آن در دو صفحه موازی قرار گرفته اند و قاعده ها همنهشت می باشند. n وجه دیگر منشور لزوما همه متوازی الاضلاع هستند و راس های متناظر دو n-ضلعی را به هم وصل می نمایند. تمامی سطح مقطع های موازی با قاعده، یکسان می باشند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده خود نام گذاری می گردند. به همین خاطر یک منشور با قاعده سه ضلعی منشور سه پهلو نامیده شده است. در ادامه با فرمول های ریاضی منشور آشنا می شویم.
فرمول های ریاضی منشور عبارتند از:
- مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت های سطوح جانبی منشور
- مساحت کل منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مساحت جانبی منشور
- حجم منشور= مساحت قاعده × طول منشور
